Göthe var elev vid Konstakademien 1794–1803, verksam i Rom 1803–10 och i Ryssland 1822–23. Han var känd som porträttör och kombinerade nyklassicismens idealisering med saklig personkarakteristik. Hans mest prominenta verk är Karl XIII i Kungsträdgården i Stockholm (1821); han utformade också Riddarholmskyrkans gjutjärnsspira (1838).