Phragmén var professor i matematik vid Stockholms högskola 1892–1904. Han arbetade inom den komplexa analysen och är mest känd för en metod, senare generaliserad i samarbete med Ernst Lindelöf (Phragmén–Lindelöfs sats), för att studera beteendet hos en analytisk funktion i ett område givet dess beteende på randen.