differentialekvation, ett samband mellan en funktion och dess derivator. Om funktionen bara beror

(13 av 91 ord)
Vill du få tillgång till hela artikeln?

Ordinära differentialekvationer

Det enklaste exemplet är ekvationen

med konstant a. Den anger att kvantiteten u(t) ändras med en hastighet proportionell mot u(t). Så beskrivs med a < 0 mängden av ett radioaktivt sönderfallande ämne, och med a > 0 storleken av en population med konstant födelsetal överstigande mortaliteten. Lösningen

u(t) = eatu(0)

visar då a > 0 en katastrofal exponentiell tillväxt. Den inhomogena versionen av (1),

där ƒ antas känd, löses av

På liknande sätt kan man lösa varje system

(70 av 1063 ord)

Partiella differentialekvationer

Intill de sista decennierna har teorin för partiella differentialekvationer nästan uteslutande utvecklats i nära anslutning till fysiken och begränsats till ekvationer med betydelse inom denna. Vi skall nämna några av de viktigaste exemplen och de naturliga problemställningarna för dem.

Poissons ekvation

kallad Laplaceekvationen då ƒ = 0, uppträder i fysiken då n = 3.

Newtonpotentialen

ger en lösning förutsatt att den är väldefinierad. Av fysikaliska skäl väntar man sig att u skall vara bestämd i ett område Ω om man utöver ekvationen (10)

(79 av 1944 ord)

Historia

Differentialekvationernas historia går tillbaka ända till grundarna av differentialkalkylen: Newton och Leibniz. Euler lämnade viktiga bidrag liksom

(17 av 118 ord)

Numerisk lösning

Differentialekvationer måste vanligen lösas approximativt med diskretiseringsmetoder. Vid begynnelsevärdesproblem följer man en lösningskurva till ekvationssystemet

genom att bestämma en steglängd Δt och beräkna en följd av approximationer

uk ≈ u(tk) där tk = t0+kΔt.

Det finns två huvudprinciper: differensmetoder och kvadraturmetoder. I den första approximeras du/dt med en differenskvot, i den andra skrivs differentialekvationen som en integralekvation

som sedan approximeras med en kvadraturformel. Den enklaste metoden, Eulers metod

(64 av 814 ord)

Industriell användning

Differentialekvationer har många tillämpningar inom vitt skilda grenar av vetenskap och teknik; bl.a. kan mekaniska system, elektriska nätverk,

(18 av 126 ord)

Medverkande

  • Axel Ruhe
  • Gustaf Söderlind
  • Lars Gårding
  • Lars Hörmander

Litteraturanvisning

Ordinära differentialekvationer:
Karl Gustav Andersson & L.C. Böiers, Ordinära differentialekvationer (1989);
V.I. Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations (1983);
Earl A. Coddington & N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations (1955);
J.K. Moser, Stable and Random Motions in Dynamical Systems (1973).
Partiella differentialekvationer:
R. Courant & D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics 2 (engelsk översättning 1962);
D. Gilbarg & N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (2:a upplagan 1983);
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators 1–4 (1983–85);
D.A. Ladyzenskaja, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow (engelska rev. upplaga 1963).
Källangivelse
Nationalencyklopedin, differentialekvation. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/differentialekvation