differentialekvation
differentialekvation, ett samband mellan en funktion och dess derivator. Om funktionen bara beror
(13 av 91 ord)Ordinära differentialekvationer
Det enklaste exemplet är ekvationen
med konstant a. Den anger att kvantiteten u(t) ändras med en hastighet proportionell mot u(t). Så beskrivs med a < 0 mängden av ett radioaktivt sönderfallande ämne, och med a > 0 storleken av en population med konstant födelsetal överstigande mortaliteten. Lösningen
u(t) = eatu(0)
visar då a > 0 en katastrofal exponentiell tillväxt. Den inhomogena versionen av (1),
där ƒ antas känd, löses av
På liknande sätt kan man lösa varje system
(78 av 1156 ord)Partiella differentialekvationer
Intill de sista decennierna har teorin för partiella differentialekvationer nästan uteslutande utvecklats i nära anslutning till fysiken och begränsats till ekvationer med betydelse inom denna. Vi skall nämna några av de viktigaste exemplen och de naturliga problemställningarna för dem.
Poissons ekvation
kallad Laplaceekvationen då ƒ = 0, uppträder i fysiken då n = 3.
Newtonpotentialen
ger en lösning förutsatt att den är väldefinierad. Av fysikaliska skäl väntar man sig att u skall vara bestämd i ett område Ω om man utöver ekvationen (10)
(83 av 2051 ord)Historia
Differentialekvationernas historia går tillbaka ända till grundarna av differentialkalkylen: Newton och Leibniz. Euler lämnade viktiga bidrag liksom
(17 av 118 ord)Numerisk lösning
Differentialekvationer måste vanligen lösas approximativt med diskretiseringsmetoder. Vid begynnelsevärdesproblem följer man en lösningskurva till ekvationssystemet
genom att bestämma en steglängd Δt och beräkna en följd av approximationer
uk ≈ u(tk) där tk = t0+kΔt.
Det finns två huvudprinciper: differensmetoder och kvadraturmetoder. I den första approximeras du/dt med en differenskvot, i den andra skrivs differentialekvationen som en integralekvation
som sedan approximeras med en kvadraturformel. Den enklaste metoden, Eulers metod
(68 av 851 ord)Industriell användning
Differentialekvationer har många tillämpningar inom vitt skilda grenar av vetenskap och teknik; bl.a. kan mekaniska system, elektriska nätverk,
(18 av 126 ord)