Wallman var professor i matematik vid Massachusetts Institute of Technology (MIT) 1946–1950, professor i teleteknik vid Chalmers tekniska högskola 1955–1967 och i medicinsk elektronik vid Chalmers och Göteborgs universitet 1967–1980 (personlig professur). Han var föregångsman inom medicinsk teknik. Inom topologin skapade han Wallmanrymden och inom radartekniken kaskoden.