differentialgeometri, det område inom matematiken i vilket man studerar geometriska objekt som kurvor och

(14 av 95 ord)
Vill du få tillgång till hela artikeln?

Kurvor i rummet

Med avseende på ett rätvinkligt koordinatsystem i rummet ges en kurva lokalt av ekvationerna

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

där x(t), y(t) och z(t) antas vara deriverbara funktioner av parametern t. Det är bekvämt att införa funktionen

c(t) = (x(t), y(t), z(t)).

En tangentvektor till kurvan i punkten c(t) ges av derivatan

c′

(55 av 466 ord)

Ytor i rummet

Med avseende på ett rätvinkligt koordinatsystem i rummet ges en yta lokalt av ekvationerna

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),

där x(u, v), y(u, v) och z(u, v) antas vara deriverbara funktioner av parametrarna u och v, vilka är definierade i ett område U av planet.

På samma sätt som en kurva i rummet bestäms av krökning och torsion, bestäms en yta i rummet av två matematiska uttryck,

(62 av 691 ord)

Inre geometri för ytor

Eftersom så väsentliga geometriska storheter som Gauss-krökningen och de geodetiska linjerna kan bestämmas ur första fundamentalformen kan ytbegreppet generaliseras. En yta kan lokalt betraktas som ett område i planet tillsammans med en metrik

ds2 = E du2 + 2 F du dv + G dv2,

där

(41 av 361 ord)

Riemannska mångfalder

Geometri för ytor kan generaliseras till objekt av dimension n. Ytan ersätts då av en n-dimensionell Riemannsk mångfald, som lokalt är ett område i det n-dimensionella rummet med variablerna

(29 av 209 ord)

Medverkande

  • Thomas Erlandsson

Litteraturanvisning

W.M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry ( 1975);
B. O’Neill, Elementary Differential Geometry ( 1966).
Källangivelse
Nationalencyklopedin, differentialgeometri. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/differentialgeometri