geometri (latin geomeʹtria, av grekiska geōmetriʹa ’lantmätarkonst’, ’geometri’, av geo- och grekiska -metriʹa ’-mätning’), det område av matematiken i vilket man studerar

(22 av 153 ord)
Vill du få tillgång till hela artikeln?

Den tidigaste geometrin

Den tidigast i skrift kända geometrin härrör från Mesopotamien och Egypten.

(11 av 61 ord)

Grekernas geometri

Utvecklingen av geometrin till en systematisk vetenskap skedde i Grekland från 600-talet f.Kr. och framåt. Geometriska satser bevisades genom

(19 av 134 ord)

Geometrins grunder

Euklides framställning av geometrin är inte helt invändningsfri enligt moderna krav. Vissa slutsatser bygger på ej explicit redovisade antaganden. Den första fullständiga axiomatiska framställningen av den euklidiska geometrin gavs 1882 av den tyske matematikern Moritz Pasch (1843–1930). En annan axiomatisk presentation, som nära ansluter sig till Euklides egen och som genast blev mycket populär, utgavs 1899 av David Hilbert i Grundlagen der Geometrie. Euklides framställning, har dock utomordentliga förtjänster, i synnerhet vad gäller behandlingen av de fundamentala begreppen rät linje

(80 av 837 ord)

Euklides postulat I–V

(1 av 1 ord)

Postulat I:

Mellan två punkter går precis en rät linje.

Detta påstående gäller generellt i det euklidiska och hyperboliska rummet.

(18 av 122 ord)

Postulat II:

En ändlig rät linje kan förlängas i en rät linje.

(10 av 10 ord)

Postulat III:

En cirkel kan uppritas med godtyckligt centrum och godtycklig radie.

Det

(11 av 67 ord)

Postulat IV:

Alla räta vinklar är lika stora.

Det fjärde postulatet är exempel

(11 av 44 ord)

Postulat V, Euklides parallellpostulat:

Om två räta linjer skärs av en tredje och om summan av två inre vinklar på samma sida om den skärande linjen

(22 av 153 ord)

Hilberts axiomgrupper I–V

Det behövs fler postulat (eller axiom som de oftast kallas i

(11 av 56 ord)

Axiomgrupp I, incidensaxiomen

Denna grupp innehåller bl.a. Euklides postulat I.

(7 av 7 ord)

Axiomgrupp II, ordningsaxiomen

Här behandlas den primitiva termen mellan. Ett av axiomen i denna

(11 av 56 ord)

Axiomgrupp III, kongruensaxiomen

Euklides har ett kongruensaxiom, Postulat IV. Hilbert har fem sådana axiom. Ett av dessa

(14 av 98 ord)

Axiomgrupp IV, parallellaxiomet

En rät linje och en punkt utanför denna är givna; då

(11 av 49 ord)

Axiomgrupp V, kontinuitetsaxiomen

Till denna grupp hör Arkimedes postulat, som säger att om två

(11 av 26 ord)

Parallellpostulatets historia

Enligt Proclus kritiserades Euklides parallellpostulat redan från början. Man menade att detta postulat är en proposition som kan bevisas med hjälp av de övriga postulaten. Under tvåtusen år ägnade sig matematiker och andra åt att försöka bevisa detta postulat, dock utan att lyckas. Som en illustration kan nämnas att tysken Georg Simon Klügel (1739–1812) 1763 utgav en avhandling som behandlade felen i 28 olika tidigare utgivna ”bevis” för parallellpostulatet. I

(70 av 498 ord)

Absolut geometri

János Bolyai införde 1832 benämningen absolut geometri för den geometri som bygger på Euklides fyra första postulat men inte bygger på något postulat om parallella räta linjer. Även benämningen neutral geometri förekommer i modern litteratur. Satser i absolut geometri är generellt giltiga både i det euklidiska och hyperboliska rummet, dvs. även i hyperbolisk geometri. Vissa av satserna gäller

(58 av 408 ord)

Euklidisk geometri

Den geometri som bygger på Euklides fyra första postulat samt dessutom på Euklides parallellpostulat, kallas euklidisk geometri. Denna geometri gäller i det euklidiska rummet och i s.k. plana ytor. Även geometrin i böjda former av en plan yta som cylindrar och koner är lokalt euklidisk (bild 10).

image/jpeg

geometri (bild 10). Både i en cylinderyta och i en konisk yta gäller euklidisk geometri.

Man kan också studera euklidisk geometri i en parallellogram där motstående sidor är identiska, dvs. i en

(80 av 748 ord)

Hyperbolisk geometri, icke-euklidisk geometri

Den geometri, som bygger på Euklides fyra första postulat samt det s.k. hyperboliska parallellpostulatet, kallas hyperbolisk geometri. Detta är geometrin i ett rum i vilket varje plan har den sadelformade

(30 av 212 ord)

Det hyperboliska parallellpostulatet

(Se bild 18.) Låt P vara en punkt utanför en rät linje AB och PQ normalen från P mot linjen. Då finns en spetsig vinkel Π(PQ) med följande egenskap: De räta linjerna PX och PY, vilka bildar vinkeln Π(PQ) med normalen PQ, skär inte linjen AB. Varje linje PZ, som bildar en mindre vinkel än Π(PQ) med normalen, skär linjen AB i någon punkt.

image/jpeg

geometri (bild 18). Det hyperboliska parallellpostulatet.

Linjerna PX och PY kallas gränsparallellerna

(77 av 576 ord)

Elliptisk geometri

En sfär med radien 1 där diametralt motstående punkter har identifierats kallas det projektiva planet (se också projektiv geometri nedan). Om sfärens

(22 av 157 ord)

Affin geometri

Under parallellprojektion avbildas räta linjer på räta linjer och parallella räta linjer förblir parallella. En generell avbildning som uppfyller dessa egenskaper kallas affin avbildning, och den geometri som

(28 av 195 ord)

Projektiv geometri

I den projektiva geometrin, som har sina rötter i perspektivläran, studeras som i den affina geometrin de egenskaper hos figurer som bevaras under projektioner mellan plan eller rum. I motsats till affin geometri finns i projektiv geometri inga parallella linjer. Det projektiva

(42 av 300 ord)

Desarguesk geometri

Ett affint eller projektivt plan i vilket Desargues sats gäller kallas

(11 av 65 ord)

Geometriska transformationer

En transformation är en ett-till-ett-avbildning, dvs. en avbildning som tar olika punkter till olika bildpunkter. En automorfism i geometrin är en transformation av planet eller

(25 av 177 ord)

Medverkande

  • Thomas Erlandsson

Litteraturanvisning

H. Eves, A Survey of Geometry ( 1972);
M.J. Greenburg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (2:a upplagan 1980);
T.L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements (2:a upplagan 1956);
D. Hilbert & S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination (engelsk översättning 1952);
P. Scott, ”The Geometries of 3-Manifolds”, The Bulletin of the London Mathematical Society 1983.
Källangivelse
Nationalencyklopedin, geometri. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/geometri